FORMES AUTOMORPHES POUR GL_{2} ET AUGMENTATION DU NIVEAU

PHILIPPE GRAFTIEAUX

Table des matières

1. Introduction 1 1.1. Historique 1 1.2. Formes modulaires classiques 2 1.3. Augmentation du niveau 3 2. Des formes modulaires classiques aux formes automorphes pour GL_{2}^{+}(ℝ) 5 2.1. Prérequis sur le groupe GL_{2}^{+}(ℝ) 5 2.2. Construction de fonction Γ-invariantes 7 2.3. Formes automorphes sur GL_{2}^{+}(ℝ) 7 3. Formes automorphes sur GL_{2}(𝔸_{f}) 8 3.1. Le théorème d’approximation forte 8 3.2. Constructions de fonctions sur GL_{2}(𝔸) 9 3.3. Algèbre de Hecke 10 3.4. Formes anciennes et formes nouvelles 11 4. La correspondance de Jacquet-Langlands 11 4.1. Rappels sur les algèbres de quaternion 11 4.2. Formes automorphes pour une algèbre de quaternion 12 4.3. Le théorème de correspondance 14 5. Augmentation du niveau 14 5.1. Interprétation combinatoire 15 5.2. Formes anciennes, formes nouvelles, produit scalaire 17 5.3. Preuve du théorème d’augmentation du niveau 19 Références 19

1. Introduction

1.1. Historique. Le fait qu’il existe des congruences entre formes modulaires de poids ou de niveau différents est connu depuis très longtemps, et a de nombreuses applications. L’une des plus frappantes est l’article [8] sur la conjecture de Serre. Dans cette artible, Ribet montre que si une représentation galoisienne impaire sur le corps fini 𝔽_{l}, où l est un nombre premier, provient d’une forme modulaire, alors il existe une forme modulaire convenable de niveau et de poids contrôlés. Ce résultat a les conséquences que l’on sait sur le théorème de Fermat. Dans sa preuve, Ribet augmente le niveau en des places auxiliaires avec un énoncé qui est essentiellement le théorème 1.3.7, il prouve l’énoncé voulu avec ce niveau augmenté et conclut par un résultat de baisse du niveau.

Date: 12 mars 2002.

Mentionnons que les idées utilisées dans ce texte sont dues à Taylor. Dans [10], ce dernier utilise de manière cruciale l’augmentation du niveau pour construire la correspondance de Langlands globale pour GL_{2}(F), où F est un corps totalement réel de degré pair, en se restreignant aux formes classiques de Hilbert. L’augmentation du niveau lui permet de se ramener à des cas où la correspondance est déja construite. C’est ce même principe qui est utilisé par Bellaïche [3] pour prouver la compatibilité des correspondances de Langlands locales et globales pour U(3) ; le résultat d’augmentation du niveau utilisé est alors celui de [5].

La formulation en terme d’arbres des idées intervenant dans l’augmentation du niveau est dûe à Bellaïche [4] ; dans sa thèse, il utilise un tel résultat afin de construire des extension non-triviales de caractères galoisiens prédites par les conjectures de Bloch-Kato. L’augmentation du niveau lui permet de construire une congruence entre une représentation galoisiennes réductible, dont les facteurs de Jordan-Hölder ont pour réduction les deux caractères considérés, et une représentation galoisienne irréductible. La généralisation d’un lemme dû à Ribet permet alors de conclure à l’existence des extension non-triviales voulues.

1.2. Formes modulaires classiques.

1.2.1. Conventions. Le groupe GL_{2}^{+}(ℝ) agit sur le demi-plan de Poincaré ℌ par

GL_{2}^{+}(ℝ) × ℌ → ℌ
([ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] , z) ↦ \frac{az + b}{cz + d}

et sur ℙ^{1}(ℝ) par

GL_{2}^{+}(ℝ) × ℙ^{1}(ℝ) → ℙ^{1}(ℝ)
([ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] , (α, β)) ↦ (aα + bβ, cα + dβ).

On définit

j: GL_{2}^{+}(ℝ) × ℌ → ℂ
([ \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ] , z) ↦ (cz + d)(ad − bc)^{−1/2};

la fonction j est un 1-cocycle pour l’action de GL_{2}^{+}(ℝ) sur ℌ, c’est-à-dire que l’on a j(gg′, z) = j(g, g′z)j(g′, z) pour tout (g, g′, z) ∈ GL_{2}^{+}(ℝ)^{2} × ℌ. De plus, pour tout (g, z) ∈ GL_{2}^{+}(ℝ) × ℌ, la fonction j vérifie les relations :

\frac{d}{dw} (w ↦ g.w)(z) = \frac{1}{j(g, z)^{2}}  et  Im (g.z) = \frac{Im (z)}{|j(g, z)|^{2}} , (1)

ce qui implique que la mesure dμ_{ℌ} := dxdy/y^{2} sur ℌ est GL_{2}^{+}(ℝ)-invariante.

La lettre Γ désigne un sous-groupe discret de SL_{2}(ℝ) contenant l’homothétie de rapport −1 et tel que Γ\ℌ est de volume fini pour la mesure dμ_{ℌ}; on appelle pointe de Γ tout éléments de ℙ^{1}(ℝ) dont le stabilisateur dans Γ est non-trivial et on note ℌ^{∗} la réunion de ℌ et de l’ensemble des pointes de Γ. Le quotient Γ\ℌ^{∗} est alors muni d’une structure de surface de Riemann compacte.

Pour tout entier strictement positif N, on désigne par Γ_{N} le sous-groupe de SL_{2}(ℤ) constitué des matrices triangulaires supérieures modulo N.

1.2.2. Formes modulaires.

Définition. On dit que f: ℌ → ℂ est une forme modulaire cuspidale de poids k et de niveau Γ (resp. de niveau N si Γ = Γ_{N}) si elle vérifie les conditions suivantes.

(i) f(g.z) = f(z)j(g, z)^{k} pour tout (g, z) ∈ Γ × ℌ;

(ii) f est holomorphe sur ℌ;

(iii) f se prolonge par la valeur 0 en une fonction holomorphe au voisinage de

toute pointe de Γ. On note S_{k}(Γ) l’espace vectoriel complexe des formes modulaires de poids k et de niveau Γ.

On ne s’intéresse pas dans ce texte aux formes non cuspidales, et en particulier aux séries d’Eisenstein. Par ailleurs, puisque l’homothétie de rapport −1 appartient à Γ, la condition (i) précédente implique que S_{k}(Γ) = {0} si k est impair. On ne considère donc que le cas ou k est pair.

Définition. On définit une action (à droite) de GL_{2}^{+}(ℝ) sur l’ensemble des fonctions complexes sur ℌ par g.f: z ↦ f(g.z)j(g, z)^{−k} pour toute fonction f sur ℌ et tout g ∈ GL_{2}^{+}(ℝ). Il vient que l’action de g ∈ GL_{2}^{+}(ℝ) induit un isomorphisme entre S_{k}(Γ) et S_{k}(g^{−1}Γg).

1.2.3. Produit hermitien. Pour tout (f, g) ∈ S_{k}(Γ), la deuxième relation de (1) implique que z ↦ f(z)\overline{g(z)}y^{k} est une fonction Γ-invariante sur ℌ. De plus, la condition (iii) de 1.2.2 implique qu’elle est bornée sur ℌ.

Définition. On appelle produit de Petersson le produit hermitien sur S_{k}(Γ) défini par

< f, g >= ∫_{Γ\ℌ^{∗}} f(z)\overline{g(z)}y^{k} \frac{dxdy}{y^{2}} .

1.3. Augmentation du niveau.

1.3.1. Formes anciennes et formes nouvelles en un nombre premier. Soit N un entier et p un nombre premier divisant N. On définit les applications i_{1}, i_{2} : S_{k}(Γ_{N/p}) → S_{k}(Γ_{N}) par

i_{1,p}: f ↦ f et i_{2,p}: f ↦ ([\begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}] .f: z ↦ p^{k/2}f(pz)) .

Définition. On appelle espace des formes anciennes en p de niveau N et de poids k et on note S_{k}(Γ_{N})^{old,p} le sous espace de S_{k}(Γ_{N}) engendré par les images de i_{1,p} et i_{2,p}.

On appelle espace des formes nouvelles en p de S_{k}(Γ_{N}) et on note S_{k}(Γ_{N})^{new,p} l’orthogonal de S_{k}(Γ_{N})^{old,p} dans S_{k}(Γ_{N}) pour le produit de Petersson.

1.3.2. Opérateurs de Hecke.

Définition. Pour tout élément g de GL_{2}^{+}(ℚ), il existe un nombre fini α_{1}, …, α_{r} d’éléments de GL_{2}^{+}(ℚ) tels que Γ_{N}gΓ_{N} = ∐_{i=1}^{r} α_{i}Γ_{N} . On appelle opérateur de Hecke attaché à g, et on note T_{g}, l’endomorphisme de S_{k}(Γ_{N}) défini par

T_{g}(f) = ∑_{i=1}^{r} α_{i}.f.

Dans le cas où g est la matrice

[ \begin{matrix}n & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] ,

on note simplement T_{n} au lieu de T_{g}. On note H(Γ_{N}) et on appelle algèbre de Hecke la sous-algèbre de l’algèbre des endomorphismes de S_{k}(Γ_{N}) engendrée par les opérateurs T_{g} lorsque le déterminant de g est premier à N.

Théorème 1.3.3. L’algèbre H(Γ_{N}) est commutative, engendrée par les opérateurs T_{n}, n premier à N, et tous ses éléments sont autoadjoints relativement au produit de Petersson sur S_{k}(Γ_{N}).

Corollaire 1.3.4. Il existe une base de S_{k}(Γ_{N}) constituée de formes propres pour tous les opérateurs T_{n} lorsque n décrit l’ensemble des entiers premiers à N. Il existe donc une décomposition orthogonale

S_{k}(Γ_{N}) = ⊕_{η}S_{k}(Γ_{N}, η),

où η décrit une famille de caractères de H(Γ_{N}) et où S_{k}(Γ_{N}, η) désigne l’espace des formes sur lesquelles H(Γ_{N}) agit par η.

Pour tout nombre premier p divisant N et premier à N/p, S_{k}(Γ_{N})^{old,p} et S_{k}(Γ_{N})^{new,p} sont stables sous l’action de H(Γ_{N}), de sorte que l’on a :

S_{k}(Γ_{N})^{old,p} = ⊕_{η}S_{k}(Γ_{N}, η)^{old,p},

et

S_{k}(Γ_{N})^{new,p} = ⊕_{η}S_{k}(Γ_{N}, η)^{new,p},

en posant naturellement S_{k}(Γ_{N}, η)^{old,p} = S_{k}(Γ_{N}, η)∩S_{k}(Γ_{N})^{old,p} et S_{k}(Γ_{N}, η)^{new,p} = S_{k}(Γ_{N}, η) ∩ S_{k}(Γ_{N})^{new,p}.

En fait, S_{k}(N) et les opérateurs T_{n}, pour n premier à N, admettent un modèle entier. En effet, pour tout entier N, S_{k}(Γ_{N}) s’identifie à un espace de formes différentielles sur la courbe modulaire X_{0}(N) paramétrant les courbes elliptiques munies d’un sous-groupe cyclique d’ordre N et l’opérateur T_{n}, pour n premier à N, s’interprète en termes de correspondance entre X_{0}(N) et X_{0}(nN). Il en résulte le théorème suivant.

Théorème 1.3.5. Les caractères η de H(Γ_{N}) intervenant dans la décomposition de S_{k}(Γ_{N}) sont à valeurs dans l’anneau des entiers d’un sous-corps de nombres de ℝ.

1.3.6. Énoncé du théorème. Le but de ce texte est d’exposer la preuve du résultat suivant, qui apparait dans l’article de Ribet [8, Theorem 7.3].

Théorème 1.3.7. Soit p un nombre premier ne divisant pas N, soit O un corps de nombre donné par le théorème 1.3.5 de sorte que l’on a une décomposition

S_{k}(Γ_{Np}) = ⊕_{η}S_{k}(Γ_{Np}, η)

où η décrit un ensemble de caractères de H(Γ_{Np}) à valeurs dans O. Soit q un nombre premier divisant N et tel que q est premier à N/q et soit χ un caractère de H(Γ_{N}) tel que

S_{k}(Γ_{N}, χ)^{new,q} ≠ {0}.

Alors pour tout idéal premier 𝔩 de O tel que χ(T_{p}) = ±(p + 1) mod 𝔩, il existe un caractère χ′ de H(Γ_{Np}) tel que

S_{k}(Γ_{Np}, χ′)^{new,p} ∩ S_{k}(Γ_{Np}, χ′)^{new,q} ≠ {0}

et vérifiant χ′ = χ mod 𝔩 sur H(Γ_{Np}).

Remarque. Bien évidement, toute forme de niveau Γ_{N} est une forme de niveau Γ_{Np}. En particulier, le corps de nombres donné par le théorème 1.3.5 pour Γ_{N} contient les valeurs propres de tous les opérateurs T_{n} de H(Γ_{N}) ⊂ H(Γ_{Np}) agissant sur S_{k}(Γ_{Np}), ce qui donne un sens à l’énoncé précédent. En fait, on peut faire agir T_{p} sur S_{k}(Γ_{Np}) de manière compatible à l’injection S_{k}(Γ_{N}) → S_{k}(Γ_{Np}) et énoncer le théorème précédent pour des caractères de H(Γ_{N}) (voir §5.1.2).

Le fait qu’à 𝔩 fixée, il existe un ensemble infini de p tels que les hypothèses du théorème sont satisfaite est un avatar du théorème de Tchebotarev. Plus précisément, on a le résultat suivant pour les formes de poids 2.

Théorème 1.3.8. Soit O le corps de nombre donné par le théorème 1.3.5 pour Γ_{N}, χ un caractère de H(Γ_{N}) tel que

S_{2}(Γ_{N}, χ) ≠ {0}

et 𝔩 une place finie de O. Il existe un ensemble infini de nombre premiers p tels que χ(T_{p}) = p + 1(𝔩)

Démonstration — Soit ρ: Gal(\overline{Q}/ℚ) → GL_{2}(F_{𝔩}) la représentation galoisienne attachée à χ. Comme ρ est impaire, la classe de conjugaison de la conjugaison complexe a trace 0 et déterminant −1. Le théorème de Tchebotarev implique donc qu’il existe un nombre infini de p tel que ρ(Frob_{p}) a trace 0 et déterminant −1. Comme le polynôme caractéristique de ρ(Frob_{p}) est X^{2} − χ(T_{p}) + p, le résultat en découle. □

2. Des formes modulaires classiques aux formes automorphes pour GL_{2}^{+}(ℝ)

Le but de cette section est de reformuler la définition des formes classiques de façon a voir ces dernière comme des fonctions sur GL_{2}^{+}(ℝ) à l’aide de l’isomorphisme ℌ ≃ GL_{2}^{+}(ℝ)/ZSO_{2}(ℝ). On y exprime aussi les conditions d’holomorphie et de cuspidalité de manière intrinsèque relativement au groupe GL_{2}^{+}(ℝ). Les références pour cette partie sont [6, §1] et [2, Chap. 2].

2.1. Prérequis sur le groupe GL_{2}^{+}(ℝ).

2.1.1. Décomposition d’Iwasawa. Notons Z le centre de GL_{2}^{+}(ℝ) et SO_{2}(ℝ) son sous-groupe compact maximal. Comme l’action de GL_{2}^{+}(ℝ) sur ℌ est transitive et que le stabilisateur de i est ZSO_{2}(ℝ), On peut identifier ℌ à GL_{2}^{+}(ℝ)/ZSO_{2}(ℝ). Plus précisément, si l’on désigne par A l’ensemble des matrices de SL_{2}(ℝ) diagonales de déterminant 1 et par N l’ensemble des matrices triangulaires supérieures unipotentes, on a GL_{2}^{+}(ℝ) = NASO_{2}(ℝ)Z, et la décomposition est unique. On paramètre N, A et SO_{2}(ℝ) par les coordonnées x, y, θ et z en écrivant tout élément de GL_{2}(ℝ) comme un produit

(2) [ \begin{matrix}1 & x \\ 0 & 1 \end{matrix} ] [ \begin{matrix}y^{1/2} & 0 \\ 0 & y^{−1/2} \end{matrix} ] [ \begin{matrix}cos θ & − sin θ \\ sin θ & cos θ \end{matrix} ] [ \begin{matrix}z & 0 \\ 0 & z \end{matrix} ] .

La mesure sur de Haar invariante à gauche sur le sous-groupe de borel B := NA est donnée par

dμ_{B}: [ \begin{matrix}y^{1/2} & xy^{−1/2} \\ 0 & y^{−1/2} \end{matrix} ] ↦ dxdy/y^{2},

de sorte que dμ_{ℌ} correspond à dμ_{B} par l’isomorphisme ℌ ≃ GL_{2}^{+}(ℝ)/ZSO_{2}(ℝ). On note dμ la mesure sur GL_{2}^{+}(ℝ)/Z produit de dμ_{B} par la mesure de Haar de SO_{2}(ℝ).

2.1.2. Éléments de théorie de Lie pour GL_{2}^{+}(ℝ). L’algèbre de Lie 𝔤𝔩 de GL_{2}^{+}(ℝ) est M_{n}(ℝ), munie du crochet de Lie [X, Y] = XY − Y X pour tout (X, Y) ∈ M_{2}(ℝ)^{2}. L’application exponentielle 𝔤𝔩 → GL_{2}^{+}(ℝ) induit une bijection entre les sous-algèbres de Lie de 𝔤𝔩 et les sous-groupes de Lie connexe de GL_{2}^{+}(ℝ). Ainsi,

– à Z correspond la droite 𝔷 engendrée par l’identité,

– à SO_{2}(ℝ) correspond la droite 𝔰𝔬_{2} des matrices antisymétriques,

– à A correspond la droite 𝔞 des matrices diagonales de trace nulle,

– à N correspond la droite 𝔫 des matrices triangulaires supérieures nilpotentes. On pose

R := [ \begin{matrix}0 & 1 \\ 0 & 0 \end{matrix} ] , L := [ \begin{matrix}0 & 0 \\ 1 & 0 \end{matrix} ] et H := [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & −1 \end{matrix} ] . (3)

de sorte que 𝔞 est engendrée par H, 𝔫 par R et 𝔰𝔬_{2} par R − L. On note aussi 𝔰𝔩 l’algèbre de Lie de SL_{2}(ℝ), que l’on voit comme une sous-algèbre de 𝔤𝔩.

Définition. Le foncteur qui attache à une algèbre A l’algèbre de Lie obtenue en munissant A du crochet défini par [X, Y] = XY − Y X admet un adjoint U. Pour toute algèbre de Lie 𝔤, on appelle algèbre enveloppante de 𝔤 l’algèbre U(𝔤).

On construit U(𝔤) en en quotientant l’algèbre des puissances tensorielles de 𝔤 par l’idéal engendré par les relations X ⊗ Y − Y ⊗ X − [X, Y] = 0 lorsque (X, Y) décrit 𝔤^{2}.

Définition. L’espace vectoriel réel 𝔰𝔩 est muni du produit scalaire

𝔰𝔩 × 𝔰𝔩 → ℝ
(X, Y) ↦ tr(^{t}XY)

L’élément

Δ = − ∑_{i=1}^{3} X_{i}X_{i}^{∗}

de U(𝔰𝔩) est indépendant de la base X_{1}, X_{2}, X_{3} de 𝔰𝔩 de base duale X_{1}^{∗}, X_{2}^{∗}, X_{3}^{∗}. On l’appelle élément de Casimir, il est donné par la formule

Δ = −\frac{1}{4}(H^{2} + 2RL + 2LR),

on le voit aussi comme un élément de U(𝔤𝔩).

Proposition 2.1.3. L’élément de casimir Δ appartient au centre ℨ de U(𝔤𝔩).

Démonstration — Cela résulte des relations de commutation [H, R] = 2R, [H, L] = −2L et [R, L] = H. □

Remarque. Plus précisément, ℨ est engendré par 𝔷 et par Δ.

2.1.4. Opérateurs différentiels invariants à gauche. On désigne par C^{∞}(GL_{2}^{+}(ℝ)) l’ensemble des fonction indéfiniment dérivables à valeurs complexes sur GL_{2}^{+}(ℝ). L’application linéaire sur 𝔤

X → (f ↦ \frac{d}{dt}f(. exp(tX)))

identifie 𝔤 à un sous-espace de l’espace vectoriel des opérateurs différentiels de degré 1 sur ℂ^{∞}(GL_{2}^{+}(ℝ)) invariants à gauche et réalise U(𝔤) comme à l’algèbre des opérateurs différentiels sur ℂ^{∞}(GL_{2}^{+}(ℝ)) invariants à gauche.

Dans les coordonnées (x, y, θ) de GL_{2}^{+}(ℝ)/Z données par (2), l’élément de Casimir Δ est identifié à l’opérateur différentiel

−y^{2}(\frac{∂^{2}}{∂x^{2}} + \frac{∂^{2}}{∂y^{2}} ) − y \frac{∂^{2}}{∂x∂θ} .

2.2. Construction de fonction Γ-invariantes. Notons ψ le caractère SO_{2}(ℝ) → ℂ^{∗} qui associe à la rotation d’angle θ le nombre complexe exp(iθ). La fonction sur GL_{2}^{+}(ℝ) définie par g ↦ j(g, i) est ZSO_{2}(ℝ) covariante à droite par ψ et Γ-covariante à gauche par le facteur d’automorphie (γ, g) ↦ j(γ, g.i).

Définissons

Φ: f ↦ (g ↦ f(g.i)j(g, i)^{−k}),

alors Φ est un isomorphisme de l’espace des fonctions sur GL_{2}^{+}(ℝ) qui sont Zinvariantes, Γ-covariantes à gauche via (γ, g) ↦ j(γ, g.i)^{k} et SO_{2}(ℝ) invariantes à droite sur l’espace des fonctions sur GL_{2}^{+}(ℝ) qui sont Z-invariantes, Γ-invariantes à gauche et ZSO_{2}(ℝ) covariantes à droite par ψ^{−k} et Φ transforme l’action à droite de GL_{2}^{+}(ℝ) en la translation à gauche sur les fonctions sur GL_{2}^{+}(ℝ). De plus, Φ envoit les fonctions intégrables sur Γ\GL_{2}^{+}(ℝ)/ZSO_{2}(ℝ) = Γ\ℌ, muni de la mesure dμ_{ℌ} sur les fonctions intégrables sur GL_{2}^{+}(ℝ)/Z, muni de dμ, et les deux intégrales, lorsqu’elles existent, sont égales.

Remarquons que les endomorphismes H, R et L de l’espace des vecteurs C^{∞} de l’espace de Hilbert L^{2}(Γ\GL_{2}^{+}(ℝ)/Z) sont antiautoadjoints et que Δ est autoadjoint.

Proposition 2.2.1. Soit f une forme modulaire de poids k et de niveau Γ, alors ϕ(f) est un vecteur de C^{∞}(GL_{2}^{+}(ℝ) propre pour Δ, de valeur propre (1 − k/2)k/2.

Démonstration — Cela découle du fait que f est holomorphe sur ℌ. □

2.3. Formes automorphes sur GL_{2}^{+}(ℝ). Le paragraphe précédent nous amène à poser la définition suivante :

Définition. On dit qu’une fonction f de C^{∞}(GL_{2}^{+}(ℝ)) est SO_{2}(ℝ)-finie à droite (resp. Δ-finie) si le sous-espace vectoriel de C^{∞}(GL_{2}^{+}(ℝ)) engendré par les fonctions (g ↦ f(gr)), r ∈ SO_{2}(ℝ) (resp par Δ^{n}(f), n ≥ 0) est de dimension finie.

On appelle forme automorphe pour GL_{2}^{+}(ℝ) toute fonction f de C^{∞}(GL_{2}^{+}(ℝ)) vérifiant les conditions suivantes :

(i) f est Z-invariante et Γ-invariante à gauche,

(ii) f est SO_{2}(ℝ)-finie à droite,

(iii) f est Δ-finie,

(iv) f est de carré intégrable sur ZΓ\GL_{2}^{+}(ℝ). On note A(Γ) l’ensemble des formes automorphes pour GL^{+}(ℝ).

Remarques. 1) Une fois encore, on ne considère donc que des formes cuspidales.

2) Les condition d’être SO_{2}(ℝ) finie et Δ-finie permettent d’affirmer que l’ensemble des formes automorphes est un espace vectoriel. Cette condition n’est pas restrictive puisque toute représentation de dimension finie de SO_{2}(ℝ) se décompose en une somme de puissances de ψ, tandis que l’opérateur Δ est autoadjoint sur L^{2}(Γ\SL_{2}(ℝ)/SO_{2}(ℝ)) et se diagonalise donc sur tout sous-espace de dimension finie qu’il laisse stable.

3) Cette définition est en fait celle des formes automorphes pour SL_{2}(ℝ).

Proposition 2.3.1. L’application Φ: S_{k}(Γ) → A(Γ) identifie l’espace des formes modulaires de niveau Γ et de poids k au sous-espace de A(Γ) constitué des formes automorphes SO_{2}(ℝ)-covariantes à droite par ψ^{−k} et propre pour Δ de valeur propre (1 − k/2)k/2.

Démonstration — Il suffit de prouver que toute forme automorphe vérifiant les hypothèses de l’énoncé provient d’une fonction holomorphe sur ℌ, c’est-à-dire annule l’opérateur différentiel iH + R + L. Or, le produit hermitien sur L^{2}(Γ\GL_{2}(ℝ)/Z est non dégénéré, et donc une fonction C^{∞} annule iH + R + L si et seulement si elle annule (iH − R − L)(iH + R + L) = 4Δ + (R − L)(2i − (R − L)), et R − L agit par −ik. □

Remarque. L’orthogonal de l’adhérence de ⊕_{k}Φ(S_{k}(Γ)) dans A(Γ) est non nul et se décompose en deux parties.

L’une d’elle est constitué de formes automorphes cuspidales qui ne proviennent pas de formes modulaires, dites formes de Maass, que l’on peut construire comme des fonction Γ-invariantes sur ℌ non holomorphes. L’adhérence de l’espace de toutes les formes cuspidales constitue le spectre discret de A(Γ), car c’est l’adhérence de la somme directe de toutes les sous-représentations irréductibles de GL_{2}^{+}(ℝ).

La seconde est dite spectre continu et consiste en une intégrale de représentations irréductibles qui ne sont pas de carré intégrables que l’on peut construire en termes de séries d’Eisenstein, c’est-à-dire de formes modulaires non-cuspidales.

3. Formes automorphes sur GL_{2}(𝔸_{f})

3.1. Le théorème d’approximation forte. Soit 𝔸 = ∏′ ℚ_{p} l’anneau des adèles de ℚ, c’est-à-dire le sous anneau de ∏ ℚ_{p}, p décrivant l’ensemble des places de ℚ, constitué des éléments dont presque toutes les composantes sont dans ℤ_{p}. On note 𝔸_{f} l’ensemble des adèles finies, qui est l’intersection de 𝔸 avec ∏_{p≠+∞} ℚ_{p}, et pour tout ensemble fini Σ de places de ℚ, on note 𝔸^{Σ} l’intersection de 𝔸 avec ∏_{p∉Σ} ℚ_{p}; la famille de plongements ℚ → ℚ_{p} pour tout p induit un plongement ℚ → 𝔸^{Σ}.

Théorème 3.1.1. Pour toute place p de ℚ, SL_{2}(ℚ) est dense dans SL_{2}(𝔸^{{p}}), ou encore SL_{2}(ℚ)SL_{2}(ℚ_{p}) est dense dans SL_{2}(𝔸).

Démonstration — Puisque SL_{2} est engendré par les transvections, cela résulte du théorème correspondant pour 𝔸 (cf. [7, 14.3]). □

3.1.2. Notations. Soit pour toute place finie p un sous-groupe compact K_{p} de GL_{2}(ℤ_{p}) égal à GL_{2}(ℤ_{p}) pour presque tout p et K = ∏_{p} K_{p} ⊂ GL_{2}(𝔸). On définit un sous-groupe d’indice fini dans GL_{2}(ℤ) en posant Γ := K∩GL_{2}(ℚ) = K∩GL_{2}(ℤ). En particulier, pour tout entier N ≥ 1 on note K_{N,p} le sous-groupe de GL_{2}(ℤ_{p}) des matrices triangulaires supérieures modulo N et K_{N} = ∏_{p} K_{N,p}.

On déduit du théorème d’approximation forte pour SL_{2} :

Corollaire 3.1.3. L’injection naturelle ℝ → 𝔸 induit un homéomorphisme

Γ\SL_{2}(ℝ) ≃ Z(ℝ)Γ\GL_{2}^{+}(ℝ) → Z(𝔸)GL_{2}(ℚ)\GL_{2}(𝔸)/K_{N}.

Démonstration — Nous utiliserons l’égalité :

(4)  𝔸^{∗} = ℝ^{∗}ℚ^{∗} ∏_{p≠∞} ℤ_{p}^{∗}.

L’application considérée est injective. En effet, (4) implique que

Z(𝔸) = Z(ℝ)Z(ℚ)(K_{N} ∩ Z(𝔸)).

De là, il vient que g_{∞} et g′_{∞} ont la même image dans Z(𝔸)GL_{2}(ℚ)\GL_{2}(𝔸)/K_{N} si et seulement si il existe z_{∞} ∈ Z(ℝ), q ∈ GL_{2}(ℚ) et k ∈ K_{N} tels que g_{∞} = z_{∞}qg′_{∞}k, soit si et seulement si g_{∞} = z_{∞}q_{∞}g′_{∞} et q_{∞} ∈ Γ, puisqu’alors k est la partie finie de q^{−1}.

Montrons la surjectivité, c’est-à-dire l’égalité GL_{2}(𝔸) = Z(𝔸)GL_{2}(ℚ)SL_{2}(ℝ)K_{N}. Ce dernier ensemble contient SL_{2}(ℚ)SL_{2}(ℝ)(K_{N} ∩ SL_{2}(𝔸)), qui est un sous-groupe ouvert de SL_{2}(𝔸), dense par le théorème 3.1.1, et donc égal à SL_{2}(𝔸). Puisque l’application déterminant

Z(𝔸)GL_{2}(ℚ)K_{N} → 𝔸^{∗}

a pour image ℝ^{∗}ℚ^{∗} ∏_{p≠∞} ℤ_{p}^{∗}, elle est surjective par (4), ce qui montre l’égalité voulue. □

3.2. Constructions de fonctions sur GL_{2}(𝔸).

Par le corollaire 3.1.3, l’application qui à une fonction sur GL_{2}(𝔸), Z(𝔸)-invariante, G(ℚ)-invariante à gauche et K_{N}-invariante à droite attache sa restriction à GL_{2}^{+}(ℝ), qui est Z(ℝ)-invariante et Γ_{N} invariante à gauche, est une bijection dont l’application réciproque est notée Ψ. De plus, Ψ transforme une fonctions SO_{2}(ℝ)-finie à droite (resp. Δ-finie) en une fonction ayant la même propriété et elle transforme la translation à gauche par g ∈ GL_{2}(ℚ) ⊂ GL_{2}(ℝ) en la translation à droite par la projection g_{f}^{−1} de g^{−1} ∈ GL_{2}(ℚ) ⊂ GL_{2}(𝔸) sur GL_{2}(𝔸_{f}).

Définition. On appelle forme automorphe adélique pour GL_{2} sur ℚ de niveau N et de poids k toute fonction f sur GL_{2}(𝔸), satisfaisant les propriétés suivantes :

(i) f est Z(𝔸)-invariante et G(ℚ)-invariante à gauche,

(ii) f est K_{N}-invariante à droite et SO_{2}(ℝ)-finie à droite.

(iii) La restriction de f à GL_{2}^{+}(ℝ) est Δ-finie

(iv) f est de carré intégrable pour la mesure de Haar sur GL_{2}(𝔸), G(ℚ)-invariante

à gauche et SO_{2}(ℝ)K_{N} invariante à droite. On note S(GL_{2}, K_{N}) l’ensemble des formes automorphes adéliques de niveau N.

3.3. Algèbre de Hecke. Le sous-espace Ψ ∘ Φ(S_{k}(Γ)) de A(Γ) s’identifie à un sous-espace de S(GL_{2}, K_{N}) pour tout entier k et les formes modulaires classiques peuvent être vues comme des formes adéliques. On définit maintenant l’algèbre de Hecke H(K_{N}) contenant les opérateurs T_{n} définis en 1.3.2 et agissant sur S(GL_{2}, K_{N}) de manière compatible à Ψ ∘ Φ.

Définition. Pour tout nombre premier p, soit H(K_{N,p}) (resp. H(K_{N})) l’espace des fonctions à valeurs dans ℤ sur GL_{2}(ℚ_{p}) (resp. GL_{2}(𝔸_{f})) invariantes par translation par Z(ℚ_{p}) (resp. Z(𝔸_{f})) et à support compact dans GL_{2}(ℚ_{p})/Z(ℚ_{p}) (resp. GL_{2}(𝔸_{f})/Z(𝔸_{f})) et invariantes par translation à droite et à gauche par K_{N,p} (resp. K_{N}). que l’on munit d’une structure d’algèbre grâce au produit de convolution. Puisque toute fonction Z(𝔸_{f})-invariante et à support compact dans G(𝔸_{f})/Z(𝔸_{f}) est de support inclu dans Z(ℚ_{p})K_{N,p} pour presque tout p, on a l’égalité

H(K_{N}) = ⊗′H(K_{N,p})

où ⊗′ désigne le produit tensoriel restreint, c’est-à-dire dont presque toutes les composantes sont la fonction caractéristique de Z(ℚ_{p})K_{N,p}. En particulier, pour toute partie E de GL_{2}(𝔸_{f}) bi-K_{N}Z(𝔸_{f})-invariante et de projection compacte dans GL_{2}(𝔸_{f})/Z(𝔸_{f}), on note δ_{E} ∈ H(K_{N}) la fonction caractéristique de E.

Remarque. Cette formulation adélique montre que T_{n} agit trivialement en toute place p première à n. Ceci ramène immédiatement le problème de la commutativité de l’algèbre engendrée par les opérateurs T_{n} à celle des algèbres H(K_{N,p}) pour tout p premier à N. On peut aussi définir un opérateur T_{p} ∈ H(K_{p,p}) pour tout nombre premier p. Ceci peut être aisément fait en termes d’arbres, cf. §5.1.1.

On définit une action à gauche de H(K_{N}) (et donc aussi H(K_{N,p})) sur S(GL_{2}, K_{N}) par

T.f(g) = ∑_{i=1}^{r} T (g_{i})f(gg_{i})

où T est constante sur les classes (g_{i}K_{N}Z(𝔸_{f}))_{1≤i≤r} et nulle en dehors de ∐_{i=1}^{r} g_{i}K_{N}.

Proposition 3.3.1. Pour tout nombre nombre entier n ne divisant pas N, on a

Ψ ∘ Φ(T_{n}.f) = T_{n}.(Ψ ∘ Φ(f))

où T_{n} ∈ H(K_{N}) est la fonction caractéristique de

K_{N} [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & n \end{matrix} ] K_{N}.

Démonstration — Puisque Ψ ∘ Φ transforme l’action de g ∈ GL_{2}(ℚ) en la translation à droite par g_{f}^{−1},

Ψ ∘ Φ(T_{n}.f)(g) = ∑_{i=1}^{r} f(gα_{i,f}^{−1}),

où (α_{i})_{1≤i≤r} est définie en 1.3.2, et vérifie donc

∐_{i=1}^{r} K_{N}α_{i,f}^{−1} = K_{N} [ \begin{matrix}n^{−1} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] K_{N}Z(𝔸_{f}) = K_{N} [ \begin{matrix}n & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ] K_{N}Z(𝔸_{f}),

puisque l’homothétie de rapport n est dans Z(𝔸_{f}) et la matrice antisymétrique de carré l’identité est dans GL_{2}(ℤ_{p}) pour tout p. □

3.4. Formes anciennes et formes nouvelles.

Proposition 3.4.1. Soit p un nombre premier divisant N et premier à N/p. Avec les notations de 1.3.1, l’application Ψ∘Φ transforme l’application i_{1,p} en l’inclusion

S(GL_{2}, K_{N/p}) ⊂ S(GL_{2}, K_{N})

et l’application i_{2,p} en

S(GL_{2}, K_{N/p}) → S(GL_{2}, K_{N})
f ↦ (g ↦ f(gg′)),

où g′ désigne l’élément de GL_{2}(𝔸_{f}) dont toute les composantes sont l’indentité, sauf la composante en p qui est

[ \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ]

Démonstration — Elle résulte encore une fois du fait que Ψ∘Φ transforme l’action de GL_{2}(ℚ) sur les formes classiques en l’action à droite par translation à droite sur les formes adéliques. □

L’intérêt de cette formulation est que la notion de formes nouvelles et ancienne en p se lit simplement sur la composante en p des formes automorphes adéliques. En particulier, la définition des formes anciennes et nouvelles est naturelle au sens où l’on montre que les formes anciennes en p de niveau N sont exactement les K_{N}- invariants de la GL_{2}(ℚ_{p})-représentation engendrée par les formes de niveau N/p dans l’espace des fonctions GL_{2}(ℚ)-invariantes à gauche sur lequel GL_{2}(𝔸) agit par translation à droite.

4. La correspondance de Jacquet-Langlands

4.1. Rappels sur les algèbres de quaternion. Les références pour cette section sont [9] et [11].

Définition. On appelle algèbre de quaternions sur ℚ toute algèbre engendrée sur ℚ par quatre éléments 1, i, j, k vérifiant les relations i^{2} = α, j^{2} = β, k = ij = −ij, avec α, β ∈ ℚ^{∗}. Si D est une algèbre de quaternion et si p est une place de ℚ, on dit que D est ramifiée en p si D(ℚ_{p}) := D ⊗_{ℚ} ℚ_{p} n’est pas isomorphe à M_{2}(ℚ_{p}).

Si D est ramifiée en la place finie p, alors l’algèbre D(ℚ_{p}) est muni d’une unique valuation prolongeant celle de ℚ_{p}, l’ensemble des éléments de valuation positive est une sous-ℤ_{p}-algèbre O_{D,p} de D, dont le groupe multiplicatif O_{D,p}^{∗} des éléments inversibles est l’unique sous-groupe compact maximal de D^{∗}(ℚ_{p}).

Si la place à l’infini est ramifiée, alors D^{∗}(ℝ)/Z(ℝ) s’identifie au groupe de Lie complexe SU_{2}(ℂ), dont l’algèbre de lie 𝔰𝔲_{2} est égale à celle du groupe SL_{2}(ℂ). En particulier, dans ce cas, Δ est un opérateur différentiel invariant à droite et à gauche sur les fonctions C^{∞} sur D^{∗}(ℝ).

Les algèbres de quaternions sur ℚ sont classifiées par le résultat suivant.

Théorème 4.1.1 (voir [11, Th. 3.1]). Pour toute algèbre de quaternions D sur ℚ, le nombre de places où D est ramifié est fini et pair. Réciproquement, pour tout ensemble de places de ℚ de cardinal pair, il existe à isomorphisme près une unique algèbre de quaternions ramifiée exactement en ces places.

Ce théorème implique qu’en choisissant un isomorphisme D ⊗_{ℚ} Q_{p} ≃ M_{2}(ℚ_{p}) pour toute place non ramifiée de D (ce que l’on fait toujours implicitement en pratique), on peut définir D^{∗}(𝔸) comme étant le produit restreint des D^{∗}(ℚ_{p}) par rapport à ∏_{p} GL_{2}(ℤ_{p}) où p décrit l’ensemble des places non ramifiées de D. Le groupe D^{∗}(ℚ) est un sous-groupe de D^{∗}(A).

On note Z(𝔸) (resp. Z(ℚ_{p})) le centre de D^{∗}(A) (resp. D^{∗}(ℚ_{p})).

Nous avons besoin du théorème d’approximation forte.

Théorème 4.1.2. L’ensemble D^{∗}(ℚ)\D^{∗}(𝔸_{f})/KZ(𝔸_{f}) est fini et contient D^{∗}(ℚ_{p}) comme sous-ensemble dense pour toute place finie p en laquelle D est ramifiée.

Démonstration — Le premier énoncé résulte de [1, Th. 5.1]. Pour le second, appliquer [11, Th. 4.3] à S = {p, ∞} puis raisonner comme en 3.1.3, en utilisant le fait que l’abélianisé de D^{∗}(ℚ) est ℚ^{∗}, ainsi que le théorème d’approximation forte pour les idèles, qui affirme que ℚ^{∗} est dense dans 𝔸_{f}^{∗}. □

4.2. Formes automorphes pour une algèbre de quaternion.

Définition . Soit D une algèbre de quaternions sur ℚ ramifiée à l’infini et soit K un sous-groupe compact ouvert de D^{∗}(𝔸_{f}) On appelle forme automorphe pour l’algèbre de quaternion D de poids k et de niveau K toute fonction f sur D^{∗}(𝔸), vérifiant les propriétés suivantes.

(i) f est Z(𝔸)-invariante et D^{∗}(ℚ)-invariante à gauche,

(ii) f est K-invariante à droite,

(iii) la restriction de f à D^{∗}(ℝ) est ℂ^{∞} et f est propre pour Δ de valeur propre

−(1 + k/2)k/2. On note S_{k}(D^{∗}, K) l’ensemble des formes sur D de niveau K et de poids k.

Cette définition ne fait pas intervenir de condition d’intégrabilité ou de croissance car D^{∗}(ℝ)/Z(ℝ) ≃ SU_{2}(ℂ) est compact.

Lemme 4.2.1. L’espace des formes automorphes pour D^{∗} de poids 0 s’identifie à l’ensemble des fonctions sur D^{∗}(𝔸_{f}), Z(𝔸_{f})-invariantes, K-invariantes à droite et D^{∗}(ℚ)-invariantes à gauche.

Démonstration — La catégorie des représentations de SU_{2}(ℂ) est semisimple et les éléments simples en sont les puissances symétriques de la représentations naturelle de dimension 2 sur ℂ. Puisque Δ agit par −(1+k/2)k/2 sur la puissance symétrique k-ième de ℂ^{2}, on en déduit que les formes de poids 0 pour l’algèbre de quaternions D sont telles que D^{∗}(ℝ) agit trivialement sur leur restriction à D^{∗}(ℝ), de sorte qu’elles sont caractérisées par leur restriction à D^{∗}(𝔸_{f}). □

En fait, on pourrait tout aussi bien caractériser les formes de poids k par la propriété que les représentations de D^{∗}(ℝ)/Z(ℝ) qu’elles engendrent sont sommes directes de copies de la puissance symétrique k-ième de ℂ^{2}.

4.2.2. Algèbre de Hecke. De manière similaire au paragraphe 3.3, on définit l’algèbre H(K), qui contient les opérateurs T_{n} pour tout n premier aux places ramifiées de D et aux places p non-ramifiées où K_{p} n’est pas maximal, et S_{k}(D^{∗}, K) est muni d’une action de H(K). On note H la ℤ-algèbre engendrée par tous ces opérateurs T_{n}. Pour toute place p où D n’est pas ramifiée et telle que K_{p} ≃ GL_{2}(ℤ_{p}), et si K_{p,p} désigne le sous-groupe d’Iwahori de GL_{2}(ℤ_{p}), il existe un élément T_{p} du centre de H(K_{p,p}) qui permet d’identifier H à une sous-algèbre commutative de H(B), où B = K_{p,p} ∏_{l≠p} K_{l}, voir §5.1.2.

4.2.3. Produit hermitien. Par le théorème 4.1.2, l’ensemble D^{∗}(ℚ)\D^{∗}(𝔸_{f})/KZ(𝔸_{f}) est fini, et donc D^{∗}(ℚ)\D^{∗}(𝔸)/KZ(𝔸_{f}) est compact puisque D^{∗}(ℝ)/Z(ℝ) l’est. Il existe (à une constante près) une unique mesure μ_{D^{∗}(𝔸)} sur D^{∗}(𝔸), Z(𝔸_{f})- invariante, D^{∗}(ℚ)-invariante à gauche et K-invariante à droite, et on munit S_{k}(D^{∗}, K) du produit hermitien défini par

(f, g) = ∫ f(x)\overline{g(x)}dμ_{D^{∗}(𝔸)}

En particulier, lorsque k = 0, on obtient

(5)  (f, g) = ∑_{x} n_{x}f(x)\overline{g(x)}

où x décrit l’ensemble D^{∗}(ℚ)\D^{∗}(𝔸_{f})/Z(𝔸_{f})K et n_{x} désigne le cardinal du sousgroupe de D^{∗}(ℚ) (défini à conjugaison près) D^{∗}(ℚ) ∩ xKx^{−1}.

4.2.4. Formes anciennes et formes nouvelles. Soit p un nombre premier en lequel D n’est pas ramifiée et tel que K_{p} ≃ GL_{2}(ℤ_{p}) est un sous-groupe compact maximal, soit K_{p,p} le sous-groupe d’Iwahori de K_{p}, c’est-à-dire le sous-groupe des matrices triangulaires supérieures modulo l, et B = K_{p,p} ∏_{l≠p} K_{l}. De même qu’au paragraphe 3.4, on définit l’espace S_{k}(D^{∗}, K)^{old,p} des formes anciennes en p de S_{k}(D^{∗}, B) comme étant le sous-espace de S_{k}(B, ℂ) engendré par les images des applications i_{1,p}, i_{2,p}: S_{k}(D^{∗}, K) → S_{k}(D^{∗}, B), où i_{1,p} est l’injection naturelle et i_{2,p} est la translation à droite par

[ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} ]

en particulier, i_{1,p} et i_{2,p} commutent aux actions des algèbres H(K_{l}) pour tout l en lequel D n’est pas ramifiée et K_{l} est maximal et définissent donc un morphisme de H-module.

On définit l’espace des formes nouvelles en p de S_{k}(D^{∗}, B) comme étant l’orthogonal de S_{k}(D^{∗}, B)^{old,p} dans S_{k}(D^{∗}, K).

Remarque. Il est aisé de voir que i_{1,p} et i_{2,p} engendrent l’espace des B-invariants de la représentation de GL_{2}(ℚ_{p}) engendrée par S(K). Cela découle simplement du fait que l’espace des fonctions sur B_{p}\GL_{2}(ℚ_{p})/Z(ℚ_{p})K_{p} est un H(K_{p})-module engendré par deux classes (voir le lemme 5.1.5).

4.2.5. Formes correspondant à des caractères de G(𝔸_{f}). Soit S′_{k}(D^{∗}, K) le sousespace de S_{k}(D^{∗}, k) engendré par les formes sur lesquelles D^{∗}(𝔸) agit par un caractère et S̃_{k}(D^{∗}, K) l’orthonogal de S′_{k}(D^{∗}, K) dans S_{k}(D^{∗}, K). La définition des formes de poids k implique que S′_{k}(D^{∗}, K) = {0}, sauf si k = 0. De plus, comme toute représentation de D(𝔸_{f}) engendrée par une forme de S_{0}(D^{∗}, K) est somme de caractères, il est aisé de montrer que S′_{0}(D^{∗}, K) est l’ensemble des formes D^{∗}(𝔸_{f})- finies. En fait, le lemme 5.1.6 montre que cet espace est la somme directe de la droite des fonctions constantes, sur laquelle H agit par le caractère η_{const} et d’une éventuelle droite sur laquelle H agit par −η_{const}. De plus, η_{const}(T_{p}) = p + 1 pour toute place finie p.

La définition de i_{1,p} et de i_{2,p} donnée en 4.2.4 et la compatibilité de l’action de D^{∗}(𝔸_{f}) au produit hermitien montre que i_{1,p} et i_{2,p} envoient S′_{0}(D^{∗}, K) sur S′_{0}(D^{∗}, B) et S̃_{0}(D^{∗}, K) dans S̃_{0}(D^{∗}, B), ce qui nous autorise à définir sans ambiguïté S̃_{0}(D^{∗}, B)^{old,p} comme l’image de S̃_{0}(D^{∗}, K)^{2} par i_{1,p} ⊕i_{2.p} et S̃_{0}(D^{∗}, B)^{new,p} comme l’orthogonal de S̃_{0}(D^{∗}, B)^{old,p} dans S̃_{0}(D^{∗}, B).

4.3. Le théorème de correspondance.

Théorème 4.3.1. Soit N un entier divisible par un nombre premier q, mais pas par q^{2}. Soit D l’algèbre de quaternions ramifiée en ∞ et en q et soit K_{D,N} le sousgroupe de D^{∗}(𝔸) égal à K_{N} en toute place p ≠ q et à l’unique sous-groupe compact maximal O_{D,q}^{∗} en q. Il existe des isomorphismes de H-modules

S_{k}(D^{∗}, K_{D,N}) → S_{k+2}(GL_{2}, K_{N})^{new,q},

pour tout k ≥ 2, et

S̃_{0}(D^{∗}, K_{D,N}) → S_{2}(GL_{2}, K_{N})^{new,q}

pour k = 0, qui conservent les notions de formes anciennes et nouvelles en toute place p ≠ q divisant pas N et première à N/p.

Remarque. 1) L’énoncé naturel de ce théorème porte en fait sur les représentations automorphes et non pas sur les formes.

2) Le théorème précédent implique que l’action de H sur S_{k}(D^{∗}, K_{D,N}) est diagonalisable sur l’anneau O défini en 1.3.5 (pour les formes de poids k + 2). Comme le lemme 5.1.6 implique que les valeurs propres des éléments de H agissant sur S′_{0}(D^{∗}, K_{D,N}) sont dans ℤ, le même résultat est valable S_{0}(D^{∗}, K_{D,N}). Le fait que l’action de H sur S_{0}(D^{∗}, K_{D,N}) est diagonalisable sur un sous-corps de nombres de ℝ se montre facilement en termes d’arbres, voir §5.1.1.

Le théorème 4.3.1 ramène la preuve du théorème 1.3.7 au résultat d’augmentation du niveau suivant :

Théorème 4.3.2. Soit K = ∏_{l} K_{l} un sous-groupe compact de D^{∗}(𝔸_{f}). Soit p une place finie où D n’est pas ramifiée et où K_{p} est le sous-groupe compact GL_{2}(ℤ_{p}) de GL_{2}(ℚ_{p}), soit B = K_{p,p} ∏ K_{l}, où K_{p,p} est le sous-groupe d’Iwahori de K_{p} = GL_{2}(ℤ_{p}). Soit L un sous-corps de ℝ d’anneau d’entiers O tel que l’on ait une décomposition

S_{0}(D^{∗}, B) = ∑_{η} S_{0}(D^{∗}, B, η)

où η décrit une famille de caractères de H à valeurs dans O.

Pour tout caractère χ ≠ ±η_{const} de H tel que

S_{0}(D^{∗}, B, χ) ≠ {0},

et pour tout idéal 𝔩 de O tel que χ ≠ ±η_{const} mod 𝔩 et χ(T_{p}) = ±η_{const}(T_{p}) mod 𝔩, il existe un élément g de S̃_{0}(D^{∗}, B)^{new,p}, propre pour un caractère χ′ de H vérifiant χ = χ′ mod 𝔩.

5. Augmentation du niveau

Le but de ce paragraphe est de prouver le théorème 4.3.2, pour les formes de poids 0. La lettre D désigne une algèbre de quaternion ramifiée à l’infini. Pour ne pas alourdir le texte, on s’abstiendra de noter S_{0}(D^{∗}, K) pour désigner par S(K, ℂ) l’espace des formes de niveau K et de poids 0 pour l’algèbre de quaternion D et le sous-groupe compact ouvert K de D^{∗}(𝔸_{f}). On note encore H l’algèbre de Hecke (commutative)

H = ⊗′_{l}H(K_{l})

où l décrit toutes les places où D n’est pas ramifiée et où K_{l} est un compact maximal de D^{∗}(ℚ_{l}), que l’on voit aussi comme une sous-algèbre de H(K_{p,p})⊗′_{p≠l} H(K_{l}). pour toute place p où K_{p} ≃ GL_{2}(ℤ_{p}), K_{p,p} désignant le sous-groupe d’Iwahori de GL_{2}(ℤ_{p}) (cf. §5.1.2). Nous utilisons un modèle entier de S(K, ℂ) défini comme suit :

Définition . Pour tout anneau R, soit S(K, R) le R-module des fonctions sur D^{∗}(𝔸_{f}) à valeurs dans R, D^{∗}(ℚ)-invariantes à gauche et K-invariantes à droite ; il est muni d’une structure de H-module et lorsque R est inclu dans ℝ (resp. ℂ et stable par conjugaison), du produit scalaire (resp. hermitien) à valeurs dans R donné par la formule (5).

5.1. Interprétation combinatoire.

5.1.1. Rappels sur l’arbre de Bruhat-Tits de PGL_{2}(ℚ_{p}). Soit p un nombre premier. On note X_{p} l’ensemble des classes d’équivalences de réseaux de ℚ_{p}^{2} à homothétie près. On définit un arbre X_{p} d’ensemble de sommets X_{p} en disant que x, x ∈ X_{p}^{2} sont voisins s’ils existe deux réseaux Λ et Λ′ représentant x et x′ et vérifiant

pΛ ⊊ Λ′ ⊊ Λ

ce qui revient à dire que les diviseurs élémentaires de Λ′ dans Λ sont 1 et p. L’arbre ainsi construit est appelé arbre de Bruhat-Tits de PGL_{2}(ℚ_{p}). Comme les voisins d’un point donné sont en bijection avec les droites du 𝔽_{p}-espace vectoriel 𝔽_{p}^{2}, cet arbre est homogène de valence p + 1.

L’ensemble X_{p} est muni d’une action transitive de GL_{2}(ℚ_{p}), triviale sur Z(ℚ_{p}), qui attache à (g, x) la classe de g(Λ) pour tout Λ représentant x. Le stabilisateur de la classe O du réseau ℤ_{p}^{2} de ℚ_{p}^{2} étant GL_{2}(ℤ_{p})Z(ℚ_{p}), il vient que l’application

GL_{2}(ℚ_{p})/Z(ℚ_{p})GL_{2}(ℤ_{p}) → X_{p}
g ↦ g(O)

est une bijection. Comme l’action de PGL_{2}(ℚ_{p}) sur X_{p} envoit deux points voisins sur deux points voisins, l’ensemble des arêtes orientées A_{p} de X_{p} est lui aussi muni d’une action de PGL_{2}(ℚ_{p}), ce qui permet d’identifier A_{p} au quotient

GL_{2}(ℚ_{p})/Z(ℚ_{p})K_{p,p},

où K_{p,p} désigne le sous-groupe de GL_{2}(ℤ_{p}) des matrices triangulaires supérieures modulo p, dit sous-groupe d’Iwahori (et déja défini au paragraphe 3.1.2). On note I la classe de ℤ_{p} ⊕ pℤ_{p} dans X_{p}, qui est telle que l’arête (O, I) est fixe par K_{p,p}.

5.1.2. Interprétation de l’algèbre de Hecke. L’algèbre de Hecke H(GL_{2}(ℤ_{p})) s’identifie à l’ensemble des fonctions à valeurs dans ℤ sur X_{p} qui sont GL_{2}(ℤ_{p})-invariantes. Sous cette forme, il est facile de voir qu’elle est engendrée comme ℤ-module par les fonctions caractéristiques des sphères centrées à l’origine, puis qu’elle est engendrée comme algèbre par T_{p}, qui est la fonction caractéristique de l’ensemble des voisins de O.

Quant à elle, l’algèbre de Hecke-Iwahori H(K_{p,p}) s’identifie à l’ensemble des fonctions à valeurs dans ℤ sur A_{p} qui sont K_{p,p}-invariantes. On définit alors T_{p} ∈ H(K_{p,p}) comme la fonction caractéristique de l’ensemble de toutes les arêtes de but 0 ou d’origine I, moins (p − 1) fois la fonction caractéristique de l’arête (O, I). Ceci permet de voir H(GL_{2}(ℤ_{p})) comme une sous-algèbre de H(K_{p,p}).

La proposition suivante permet d’interpréter les espaces de formes automorphes en termes de fonctions sur l’arbre X_{p} pour toute place p adaptée.

Proposition 5.1.3. Pour tout sous-groupe compact ouvert de D^{∗}(𝔸_{f}), pour toute place p où p n’est pas ramifiée l’injection D^{∗}(ℚ_{p}) → 𝔻^{∗}(𝔸_{f}) induit un homéomorphisme

Γ\D^{∗}(ℚ_{p})/Z(ℚ_{p})K_{p} ≃ D^{∗}(ℚ)\D^{∗}(𝔸_{f})/KZ(𝔸_{f})

où Γ(K) = D^{∗}(ℚ) ∩ ∏_{l≠p} K_{l} (intersection dans D^{∗}(𝔸_{f})) est vu comme sous-groupe discret de D^{∗}(ℚ_{p}).

Démonstration — Cette application est bien définie et injective car K_{p} s’envoit dans K et ∏_{l≠p} K_{l} commute avec D^{∗}(ℚ_{p}) dans D^{∗}(𝔸_{f}). Le théorème 4.1.2 montre que l’ensemble de droite est fini et que D^{∗}(ℚ)D^{∗}(ℚ_{p}) est dense dans D^{∗}(𝔸_{f}), de sorte que l’application est un homéomorphisme. □

5.1.4. Interprétation des espaces de formes automorphes. Soit p une place où D n’est pas ramifiée et K_{p} ≃ GL_{2}(ℤ_{p}) est maximal dans D^{∗}(ℚ_{p}), soit B = K_{p,p} ∏_{l≠p} K_{l} où K_{p,p} est le sous-groupe d’Iwahori de K_{p}.

Pour tout anneau R, l’espace de formes automorphes S(K, R) (resp. S(B, R)) s’identifie à l’espace des fonctions à valeurs dans R sur l’ensemble X_{p} des sommets (resp. sur l’ensemble A_{p} des arêtes orientées) de l’arbre X_{p} de PGL_{2}(ℚ_{p}) qui sont Γ(K)-invariantes.

L’opérateur de Hecke T_{p} agit sur S(K, R) par convolution, c’est-à-dire que T_{p}(f)(x) = ∑_{y} f(y), où y décrit l’ensemble des voisins de x dans X_{p}.

Si R ⊂ ℝ, alors le produit scalaire de S(K, R) est donné par la formule

(f, g) = ∑_{x∈Γ(K)\X_{p}} n_{x}f(x)g(x)

où n_{x} est le cardinal du stabilisateur Γ(K)_{x} de x dans Γ(K), ce qui montre que l’opérateur T_{p} est autoadjoint.

Concernant les formes nouvelles et anciennes, on a le lemme suivant :

Lemme 5.1.5. En termes d’arbres, i_{1,p} (resp. i_{2,p}) est l’application qui à une fonction f sur Γ(K)\X_{p} attache la fonction sur Γ(K)\A_{p} qui vaut f(x) sur toute arête d’origine x (resp. de but x). En particulier, c’est un morphisme de H-modules.

Démonstration — Cela résulte du fait que

I = [ \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} ] .O .

□

Cette interprétation combinatoire donne aussi la caractérisation des formes de S(K, ℂ) provenant d’un caractère de D^{∗}(𝔸_{f}). Plus précisément, on a :

Lemme 5.1.6. Il y a au plus deux droites de S(K, ℂ) sur lesquelles G(𝔸_{f}) agit par un caractère. L’une d’elle est la droite des fonctions constantes, caractérisée par le fait que H agit par η_{const}, et l’autre est caractérisée par le fait que H agit par −η_{const}, lorsqu’elle existe. En d’autres termes, si S′(K, ℂ) d’ésigne le sous-espace des fonctions D^{∗}(𝔸_{f})-finies, on a

S′(K, ℂ) = ⊕S(K, ℂ, η_{const}) ⊕ S(K, ℂ, −η_{const}).

Démonstration — Soit p une place où D est non ramifiée et où K_{p} est un sousgroupe compact maximal. Si une fonction f ∈ S(K, ℂ) engendre une représentation de dimension 1, il existe un caractère η de GL_{2}(ℚ_{p}), nul sur GL_{2}(ℤ_{p})Z(ℚ_{p}), tel que f(g) = η(g)f(1). Or, comme le plus grand quotient abélien de GL_{2}(ℚ_{p}) est donné par le déterminant, η est le composé du déterminant avec un caractère de ℚ_{p}^{∗}, nul sur ℤ_{p}^{∗} et (ℚ_{p}^{∗})^{2}. Il existe deux tels caractères, auxquelles correspondent les fonctions constantes sur l’arbre X_{p}, sur lesquelles T_{p} agit par l’homothétie de rapport p+1, et les fonctions alternées, sur lesquelles T_{p} agit par l’homothétie de rapport −(p + 1). Réciproquement, si f est telle que T_{p} agit par ±η_{const}(T_{p}) = ±(p + 1), alors on montre en considérant un point de X_{p} où |f| est maximal que f est constante (resp. altermée). □

5.1.7. Opérateurs de Hecke et modèles entiers. Puisque l’algèbre commutative H agit sur S(K, ℤ) de manière autoadjointe pour le produit scalaire, Il est aisé de voir qu’il existe un corps de nombre L ⊂ ℝ dont l”anneau d’entiers O contient toutes les valeurs propres des éléments de H agissant sur S̃(K, ℤ) de sorte que l’on a une décomposition

S(K, L) = ⊕_{η}S(K, L, η)

où η décrit un ensemble de caractères de H à valeurs dans O, et où S(K, L, η) désigne le sous-espace de S(K, L) sur lequel H agit par le caractère η.

Pour tout O-algèbre R contenu dans ℂ et tout caractère η de H à valeurs dans O, on définit S(K, R, η) comme étant le sous-espace de S(K, R) sur lequel H agit par η. La décomposition ci-dessus n’est en général plus valable pour le R-module S(K, R). En revanche, elle l’est localement à condition de redéfinir correctement les facteurs.

Soit 𝔩 un idéal premier de O, O_{𝔩} le localisé de O en 𝔩 et 𝔽_{𝔩} son corps résiduel. Pour tout caractère \overline{η} de H à valeurs dans 𝔽_{𝔩}, soit

S(K, O_{𝔩}, \overline{η}) := S(K, O_{𝔩}) ∩ ⊕_{η}S(K, L, η),

où η décrit l’ensemble des caractères de H à valeurs dans O dont la réduction est \overline{η}; c’est un sous-O-module saturé de S(K, L).

Lemme 5.1.8 (Deligne-Serre). La somme directe orthogonale

⊕\overline{η}S(K, O, \overline{η})

définit un sous-réseau de S(K, O) d’indice premier à 𝔩.

Démonstration — Puisque S(K, O, \overline{η}) est annulé par le polynôme ∏_{η}(X − η), où η décrit l’ensemble des caractères de H de réduction \overline{η}, la réduction de S(K, O) modulo 𝔩 est incluse dans le sous-espace caractéristique S(K, 𝔽_{𝔩}, \overline{η}) de S(K, 𝔽_{𝔩}) attaché à \overline{η}. Puisque l’on a

S(K, 𝔽_{𝔩}) = ⊕\overline{η}S(K, 𝔽_{𝔩}, \overline{η}),

et que ∑_{\overline{η}∈\overline{E}} dim_{O} S(K, O, \overline{η}) = dim_{O} S(K, O), on obtient le résultat. □

5.2. Formes anciennes, formes nouvelles, produit scalaire.

Le lemme 5.1.5 montre que les applications i_{1,p}, i_{2,p}: S(K, R) → S(B, R) sont bien définies pour tout anneau R.

Proposition 5.2.1. Pour tout anneau R, le noyau de

i_{1} ⊕ i_{2} : S(K, R) ⊕ S(K, R) → S(B, R)

est constitué des couples (f, f′), tels que f(x) et f′(x) ne dépendent que de la parité de la distance de x à l’origine O de l’arbre, et vérifiant f + f′ = 0. Il est donc libre de rang 1 si Γ\X_{p} contient un cycle de longueur impair, et de rang 2 dans le cas contraire. Si R est un corps, alors ce noyau est inclu dans

(S(K, R, η_{const}) ⊕ S(K, R, −η_{const}))^{2}.

Démonstration — La forme des fonctions du noyau résulte de l’interprétation de i_{1,p} et i_{2,p} en termes d’arbre donnée par le lemme 5.1.5. On remarque ensuite que de telles fonctions s’écrivent comme sommes de fonctions constantes et alternées sauf en caractéristique 2 où ces deux notions coincident. □

L’énoncé suivant est une étape cruciale pour la preuve du théorème 4.3.2.

Corollaire 5.2.2 (Lemme d’Ihara). L’image de S(K, ℤ)^{2} dans S(B, ℤ) par i_{1,p} ⊕ i_{2,p} est saturée. C’est l’intersection de S(B, ℂ)^{old,p} avec S(B, ℤ), que l’on note sans ambiguïté S(B, ℤ)^{old,p}. De plus, le noyau de i_{1,p} ⊕ i_{2,p} est contenu dans

(S(K, ℤ, η_{const}) ⊕ S(K, ℤ, −η_{const}))^{2}.

Par extension des scalaires, ceci est donc vrai en remplaa̧nt ℤ par n’importe quel sous-anneau de ℂ.

Démonstration — Il suffit de prouver le résultat en remplaçant ℤ par son localisé ℤ_{(l)}, où l est un nombre premier. Il est aisé de voir que la dimension du noyau de i_{1} ⊕ i_{2} est plus grande lorsque R = 𝔽_{l} que lorsque R = ℚ, avec égalité si et seulement si le noyau est saturé lorsque R = ℤ_{(l)}. □

Proposition 5.2.3. L’image réciproque du produit scalaire de S(B, ℤ) à S(K, ℤ)^{2} par i_{1,p} ⊕ i_{2,p} est donné par les formules :

< i_{1,p}f, i_{1,p}g >=< i_{2,p}f, i_{2,p}g >= (p + 1) < f, g >

et

< i_{1,p}f, i_{2,p}g >=< i_{2,p}f, i_{1,p}g >=< T_{p}f, g >=< f, T_{p}g >

Démonstration — Regarder l’interprétation du produit scalaire en termes d’arbre. □

Corollaire 5.2.4. Soit 𝔩 une place de O, \overline{χ} un caractère de H à valeurs dans 𝔽_{𝔩} vérifiant \overline{χ}(T_{p}) = ±(p + 1) et S(K, ℂ, \overline{χ}) ≠ \{0\}, alors l’image réciproque du produit scalaire de S(B, O) à S(K, O, \overline{χ})^{2} par i_{1,p} ⊕ i_{2,p} est dégégérée modulo 𝔩

Démonstration — Choisissons une base (f_{1}, …, f_{r}) de S(K, O, \overline{χ}) et notons U la matrice de Gram du produit scalaire de S(K, O, \overline{χ}) dans cette base. Puisque l’on a la décomposition du lemme 5.1.8, le produit scalaire sur S(K, O, \overline{χ}) est non-dégénéré modulo 𝔩 et donc U est symétrique et inversible modulo 𝔩. L’endomorphisme T_{p} de S(K, O, \overline{χ}) est autoadjoint et l’on note T sa matrice dans la base f_{1}, …, f_{r}, de sorte que UT est également symétrique.

La proposition 5.2.3 ci-dessus montre que la matrice de Gram de l’image réciproque du produit scalaire de S(B, O) à S(K, O, \overline{χ})^{2} par i_{1,p} ⊕ i_{2,p} dans la base

((f_{1}, 0), …, (f_{r}, 0), (0, f_{1}), …, (0, f_{r}))

est le produit de matrices par blocs r × r

[ \begin{matrix}U & 0 \\ 0 & U \end{matrix} ] [ \begin{matrix}p + 1 & T \\ T & p + 1 \end{matrix} ]

Or, puisque la réduction modulo 𝔩 de S(K, O, \overline{χ}) est incluse dans le sous-espace caractéristique de T attaché à la valeur propre \overline{χ}(T_{p}) (voir la preuve du lemme 5.1.8), la matrice de droite est singulière modulo 𝔩 dès que \overline{χ}(T_{p}) = ±(p + 1) dans 𝔽_{𝔩}. □

5.3. Preuve du théorème d’augmentation du niveau.

On considère un nombre premier p et des sous-groupes K et B de G(𝔸_{f}) comme dans le théorème 4.3.2. Soit O un sous-corps de nombres de ℝ tel qu’il existe une décomposition

S(B, ℂ) = ⊕_{η}S(B, ℂ, η)

où η décrit une famille de caractères de H à valeurs dans O. Soit χ ≠ ±η_{const} un caractère de H tel que S(K, ℂ, χ) est non-nul et 𝔩 une place de O telle que χ(T_{p}) = ±η_{const}(T_{p}) mod 𝔩 et χ ≠ η_{const} mod 𝔩. Soit \overline{χ} la réduction modulo 𝔩 de χ. Pour prouver le théorème 4.3.2, il nous faut montrer que S(B, ℂ, \overline{χ}) ∩ S(B, ℂ)^{new,p} est non-nul, où encore que S(B, O, \overline{χ}) ≠ S(B, O, \overline{χ}) ∩ S(B, O)^{old,p}.

Par le lemme 5.1.8, la somme directe orthogonale ⊕\overline{η}S(B, O, \overline{η}) définit un sousréseau d’indice premier à 𝔩 dans S(B, O). La restriction du produit scalaire à S(B, R, \overline{χ}) est donc non dégénérée modulo 𝔩.

Par construction même, S(K, O, \overline{χ}) est facteur direct de S(K, O). Par le lemme 5.2.2,

S(B, O)^{old,p} ∩ S(B, O, \overline{χ})

est facteur direct de S(B, O) et s’identifie à S(K, O, \overline{χ})^{2} puisque la condition χ ≠ ±η_{const} mod 𝔩 assure que le noyau de i_{1} ⊕ i_{2} est sans intersection avec S(K, O, \overline{χ})^{2}.

Enfin, le lemme 5.2.4, avec la condition χ(T_{p}) = ±η_{const}(T_{p}) mod 𝔩, montre que le produit scalaire sur

S(B, O)^{old,p} ∩ S(B, O, \overline{χ})

est dégénéré modulo 𝔩, et donc que l’inclusion S(B, O)^{old,p}∩S(B, O, \overline{χ}) ⊊ S(B, O, \overline{χ}), est stricte.

Références

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[2] Daniel Bump. Automorphic forms and representations, volume 55 of Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Cambridge University Press, 1997.

[3] J. Bellaïche. Sur la compatibilité des correspondances locales et globales pour u(3). Travail en préparation.

[4] J. Bellaïche. Congruences endoscopiques et représentations galoisiennes. Thèse de l’université Paris XI-Orsay, janvier 2002.

[5] J. Bellaïche et Philippe Graftieaux. Augmentation du niveau pour u(3).

[6] Stephen S. Gelbart. Automorphic forms on adèle groups. Princeton University Press, 1975.

[7] James E. Humphreys. Arithmetic groups, volume 789 of Lecture Notes in Mathematics. Springer, 1980.

[8] K. A. Ribet. On modular representations of Gal(\overline{Q}/Q) arising from modular forms. Invent. Math., 100(2) :431–476, 1990.

[9] Jean-Pierre Serre. Corps locaux. Hermann, Paris, 1968.

[10] R. Taylor. On Galois representations associated to Hilbert modular forms. Invent. Math., 98(2) :265–280, 1989.

[11] Marie-France Vignéras. Arithmétique des algèbres de quaternions, volume 800 of Lecture Notes in Mathematics. Springer, 1980.

Philippe Graftieaux graftiea@math.unice.fr Laboratoire Jean-Alexandre Dieudonné UMR CNRS 6621 Université de Nice Sophia-Antipolis Parc Valrose 06108 Nice Cedex 2 France